现代工程与应用科学学院卢明辉、陈延峰的研究团队，与苏州大学蒋建华的研究团队合作，在拓扑物理和材料研究方面取得重要进展。他们发现二维拓扑界面态、一维拓扑棱态以及零维拓扑角态可以存在于同一个声学结构中，并基于精确设计和3D打印技术实现了这种支持多维层级拓扑态的三维高阶声拓扑绝缘体。文章以“Dimensional hierarchy of higher-order topology in three-dimensional sonic crystals”为题发表于近期的Nature Communications。

在凝聚态物理及其应用中，不论对于电子系统，还是光波和声波系统，能够按需设计对粒子及元激发的传输进行调控，一直是人们追求的目标，而这一领域的快速飞跃也直接推动了现代微电子、光电子和声电子产业的诞生和蓬勃发展。近年来，随着信息处理和存储技术的进一步发展，对高性能的集成光、声器件的需求日益增长。然而在传统集成器件中，特别是对于亚波长器件，由于加工误差存在着不可避免的缺陷和杂质，使得波在传输过程中产生大量的散射和损耗，从而极大地制约了相关技术的应用与发展。拓扑材料以其特有的缺陷免疫和无损耗的传输特性，为克服这一困难提供了解决方案。

此前，人们普遍认为拓扑材料都遵循严格的体-边对应关系：即拓扑表面态只出现在比材料本身低一个维度的边界上。因此，如果要同时实现二维表面态、一维边界态和零维局域态，则需要设计多种不同几何结构的拓扑材料,这大大增加了波调控和器件设计的复杂性，进而限制了器件的集成化和微型化。如何能够在同一个材料中实现拓扑保护的二维界面、一维波导以及零维腔？这个问题的解决不仅在拓扑物理上有重要的理论意义，而且对拓扑材料和器件的应用有重要的价值。针对这一问题，该文设计和实现一类三维高阶拓扑材料，它同时存在具有拓扑鲁棒性的二维界面态、一维棱态以及零维角态。这一现象的理论基础是一种新的高阶多维度的体-边对应关系：即层级体-界面-棱-角对应关系。文章发现，系统中不同维度的拓扑态可以在频域上分离，这意味着人们可以在不同的频率上，对不同维度的声/光波进行独立调控。这一成果是高阶拓扑态研究的一项重要进展，具有重要的理论价值和应用前景。

该文构造了一类具有简立方晶格的声子晶体，其结构含八个空气腔，经由空气管道连接构成（如图1a所示）。通过调节腔与腔之间的间距（即调整它们之间的声波耦合强度），可构造出类似于SSH模型中胞内耦合与胞间耦合强弱失衡，进而调控系统的拓扑性质。在未变形的情况下（即胞内耦合与胞间耦合相同），系统的能带在布里渊区的多个高对称点（X，M和R点）处形成双重简并。通过调节腔体间距，简并打开，其过程中胞内耦合与胞间耦合由强弱失衡（此时的声子晶体称为收缩晶格）到弱强失衡（此时的声子晶体称为扩张晶格）并伴随着高对称点上本征模式的宇称反转，系统实现拓扑相变（见图1b-c）。相变点对应未变形的结构。

计算收缩晶格和扩张晶格的体极化参数，发现前者对应平庸的体极化参数P=(0,0,0),而后者对应非平庸的量子化体极化参数P=(0.5,0.5,0.5)，由此证明收缩晶格为拓扑平庸晶格而扩张晶格为拓扑非平庸晶格（见图1d-e）。基于极化理论和瓦尼尔中心（即WannierCenter，WC）的量子化，具有非平庸体极化参数P=(0.5,0.5,0.5)的晶格中WC位于原胞顶点处，这意味着系统可表现出有趣的高阶拓扑行为：当x方向上打开边界而y和z方向无边界时，由于极化效应（即Px=0.5），沿着x方向将出现等效电荷累积，对应于此声子晶体中即是二维拓扑界面态的产生；类似的，当x和y方向上都打开边界而z方向无边界时，则会产生沿着面传播的拓扑态和沿着棱传播的拓扑态（即一维棱态）；而当三个方向上的边界全部打开，则晶体同时支持二维面态、一维棱态以及零维角态（见图1f）。文中将这一有趣的、同时支持多维层级拓扑相的材料称为三维高阶拓扑绝缘体（即HOTI）。

图1.具有多维层级拓扑相的三维高阶拓扑绝缘体。a.文章设计的简立方声子晶体，从左到右分别为未变形晶格、收缩晶格以及扩张晶格。b-c.收缩晶格和扩张晶格的能带结构以及高对称点上的本征模式声场图。其中扩张晶格中本征模式在不同的高对称点上经历宇称反转，对应非平庸的拓扑性质。d-e.收缩晶格和扩张晶格的体极化参数，后者对应非平庸的体极化参数。f.当系统在不同方向上打开边界，高阶拓扑表现为多维层级拓扑态的出现。

为了验证高阶拓扑绝缘体中的多维层级拓扑态，该文利用3D打印制备了一系列样品并在实验上测量了二维面态、一维棱态以及零维角态（见图2-4）；将拓扑平庸和非平庸的晶格放在一起，可以构造不同方向上的界面。图2显示了计算和测量的z方向界面态。可以看出，界面态位于体带隙中，虽然其与体态有一定的频率交叠，但是实验测量透射谱显示前者的响应占主导地位，说明界面态可以被单独激发。对激发的界面态进行实验扫场测量，发现确实如预期所想，这类模式主要局域于拓扑平庸和非平庸晶格的界面上，远离界面声场快速衰减。这一特征与界面态相符合，再次证明拓扑界面态确实存在且能被激发。

图2.二维界面态的理论计算及实验表征。a.一维超晶格（由平庸晶格和拓扑非平庸晶格构成，只在一个方向打开边界）的投影能带。在体带隙中发现局域的拓扑界面态（由橘黄色线表示）。b.3D打印样品，用以测量拓扑界面态。c.样品透射谱的实验测量，其中界面态的响应曲线为橘黄色线/阴影，可以看出其响应高于体态（灰色的线/阴影），说明界面态可以被独立激发。d.界面态的声场实验扫描切面图。可以看到，激发的声场主要局域在x-y面上，远离这个面声场快速衰减。这些特征与界面态相符合。

图3模拟和测量了拓扑棱态。首先在一个四方的超原胞（在x-y方向打开边界）中计算了其本征模态，在体带隙和界面态（橘黄色线）带隙中发现一维棱态（深蓝色线）。实验上分别测量了位于体、界面以及棱上不同位置的频响曲线，发现棱态和界面态的响应占主导，体态的响应相对较弱，说明当x-y方向的界面打开时，系统不仅支持界面态，还支持棱态，这与计算结果吻合。此外，进一步的声场强度扫描也验证了棱态的存在（图3d）。论文对界面态也进行了声场扫描（见文章附录），同样发现了界面态存在的证据。这些结果表明，正如上文理论预期，当沿着两个方向打开边界，由于两个方向上的极化效应，晶体同时支持拓扑界面态和棱态。

图3.一维棱态的理论计算及实验表征。a.二维超晶格（由平庸晶格和拓扑非平庸晶格构成，在x-y方向打开边界）的投影能带。在体带隙中发现局域的拓扑界面态（由橘黄色线表示），在界面态的带隙中发现局域的拓扑棱态（深蓝色）。b.3D打印样品，用以测量拓扑界面态和棱态。c.实验测量的透射谱：其中界面态对应橘黄色线/阴影、棱态对应深蓝色线/阴影，可以看出这两者响应占主导地位，远高于体态响应（灰色线/阴影），这说明界面态和棱态都能被独立激发。d.棱态的声场实验扫描切面图。可以看到，激发的声场主要局域在z方向的棱上，远离这条棱声场快速衰减。这些特征与棱态相符合。

研究还发现，当三个方向的边界全部打开时，晶体中同时存在二维界面态、一维棱态以及零维角态（见图4）。实验测量了位于体、界面、棱以及角上不同位置的频响曲线，发现些拓扑态呈多维层级分布，他们在不同频率被分别激发。进一步的声场强度扫描也验证了这一现象（图4c为角态的扫场测量结果，对界面态和棱态的实验具体见文章附录）。文章最后对界面态、棱态以及角态的拓扑鲁棒性进行了验证，发现这些拓扑态对于结构缺陷具有非常高的免疫性，与拓扑材料对缺陷免疫的传输特征相吻合。

图4.零维角态的实验表征。a.3D打印样品，用以测量拓扑界面态、棱态以及角态。b.实验测量的透射谱：其中界面态对应橘黄色线/阴影、棱态对应深蓝色线/阴影、角态对应深绿色线/阴影。可以看出角态的响应发生在体态、界面态以及棱态的带隙中。此外，界面态与棱态的响应在不同的频率范围有不同的响应强度，说明这些拓扑态可以用不同频率独立激发，体现了其多维层级的特征。c.角态的声场实验扫描切面图。可以看到，激发的声场主要局域在角上，远离角声场快速衰减。这些特征与角态相符合。

该文探索了基于高阶拓扑物理实现二维界面、一维波导以及零维腔体在同一系统中的拓扑集成，这为新型高性能通讯和信息处理器件的设计提供了新思路，并且为多维度上调控声波传播提供了新方法。本文所验证的物理机制可推广到其他经典波体系，例如光学系统中，可应用于光的能量收集和信息处理等。

37000cm威尼斯的张秀娟、解碧野、王洪飞为该论文的共同第一作者；37000cm威尼斯陈延峰、卢明辉及苏州大学蒋建华共同指导了这一工作。37000cm威尼斯的许相园以及田源共同参与了该课题的研究。研究得到了科技部国家重点研发计划、国家自然科学基金、江苏省自然科学基金等项目的支持。

（现代工程与应用科学学院 科学技术处）