我校数学系吴新元教授等的专著《Structure-preserving algorithms for oscillatory differential equations》2013年3月由世界权威出版社Springer出版发行。该书汇集了吴新元教授领导的保结构算法研究组近年来在振荡微分方程领域取得的最新成果。

上世纪80年代初我国冯康院士独立开创了哈密尔顿系统的辛几何算法，由此开创了微分方程保结构算法的研究领域。天文学、力学、物理学、化学、生物学和工程中广泛存在的微分方程都具有振荡解，传统的Runge-Kutta (RK) 方法、 Runge-Kutta-Nyström (RKN) 方法和线性多步法没有考虑到振荡微分方程的特殊结构，长时间计算的结果不够理想。该书着重讨论形如y +My=f(x,y,y )的二阶微分方程的保结构算法，其中M是正定（允许非对称）矩阵，包含问题的主频率，构造算法的关键技术是使算法能精确积分多频振荡线性系统y +My=0，并且能长时间保持非线性系统精确流的物理性质或几何性质。当应用于哈密尔顿系统时，要求算法是辛的，并且是对称的；应用于动力系统时则要求算法是保能量或保动量。因此，本书代表了微分方程保结构计算一个新的前沿方向，是继冯康院士之后中国学者对该领域的重要贡献之一。

全书共分九章。第一章概述一阶微分方程组的Runge-Kutta (RK) 方法和二阶微分方程的Runge-Kutta-Nyström (RKN) 方法，介绍Butcher根树理论、B-级数理论，由此得到RK方法的阶条件，应用双色树理论得到RKN方法的阶条件。第二章 引入求解自治方程组y +My=f(y,y )的自适应性RKN（ARKN）方法，并分析了方法的阶条件。第三章研究求解特殊方程组y‘’ +My=f(y)的扩展RKN (ERKN) 方法，建立了一种新的三色树理论以解决ERKN方法的阶条件。第四章研究ERKN方法的辛性条件与对称性条件。第五章将RK方法与Störmer-Verlet型离散相结合，得到一类新型的两步混合ERKN方法，并借助三色树理论确定其阶条件。第六章将ERKN方法的思想运用到多步法，建立了自适应性的Falker型方法，并讨论了方法的误差与稳定性。第七章研究一类保能量的ERKN方法。第八章研究高振荡问题的一类高效算法。这类算法的一个令人惊奇的性质是，对于固定的时间步长，振荡的频率越大，方法越精确。渐近方法与波形松弛法结合，用以处理非线性微分方程。第九章研究哈密尔顿波方程的离散。将这类方程同时具有时间和空间变量，具有多辛结构，因此导出leap-frog型多辛离散格式。

与前人工作相比，本书具有两大重要贡献：创立了ERKN类单步方法、两步方法、Falker型多步法、保能量方法、多辛方法等，这些应用于高维多频二阶振荡和高振荡问题，精确高效；建立新的三色树理论及相应的B-级数理论，用于导出新的ERKN类方法的阶条件。除第一、第二章以为，各章新方法都通过若干经典的应用问题加以实验验证。

美国数学会（AMS）《Mathematical Review》（评论号MR3026657）评价道：作者系统地阐述了求解二阶振荡常微分方程的理论与数值方法。（The authors present systematically the theory and numerical methods for solving second-order ODEs with oscillatory solutions.）…“对需要振荡常微分方程保结构积分的深入知识的应用科学家和工程师来说，该书是一本极好的参考书。” （This book is an excellent reference for practicing scientists and engineers who need in-depth information about structure-preserving integration of oscillatory ODEs.）

德国《Zentralblatt MATH (zbMATH)》（评论号Zbl 06125759）评价道：“本书的一个关键方面在于应用树理论和B-级数理论分析方法的阶。此外还常常定量地分析了数值积分方法的色散和耗散。另一个关键方面是哈密尔顿系统的辛积分方法。”（A key aspect of this monograph consists in the analysis of the order of the methods using tree theory and B-series. In addition, often the dispersion as well as the dissipation of the numerical integrators is quantified. Another key aspect are symplectic integrators for Hamiltonian systems.）… “该书包含了对由二阶常微分方程所定义的振荡问题的数值方法的详尽讨论，适用于数值分析领域的研究人员和学生。”（In conclusion, the monograph contains a detailed discussion of the class of numerical integrators for oscillatory problems defined by second-order ordinary differential equations. This work is suitable for researchers as well as for students in the field of numerical analysis.）。（数学系）