37000cm威尼斯物理学院声学研究所王新龙教授实验室藉经典的法拉第实验，首次观察到了一种新型的波动模式——多边形浅水重力波，并揭示了其与玻色-爱因斯坦凝聚的集体激发态之间的类比。
斑图（patterns的音译，又译成图案、模式）是系统对称性破缺后自发形成的有序空间结构，在自然界中普遍存在。波动斑图（wave patterns）是振荡型的，多为波动模式的非线性表现，在物理、化学等诸多领域中广泛存在。法拉第实验历久弥新，因其波动现象的丰富多样性、实验的高效可控性，迄今仍是流体力学家和相关领域物理学家研究波动斑图及其形成机制的最有效途径之一。业已表明，在垂直振动激励下，液滴、水团、甚至粘性硅油等均会呈现多边形的波动斑图。这类多边形斑图的空间尺度较小（波长约为毫米量级），属于表面张力驱动型，故而外观圆润光滑。相对地，大尺度的重力驱动型多边形斑图迄今未见报道。
论文作者在法拉第实验中采用了抛物底面的容器，取代通常使用的平底容器。抛物底面的变水深为h=h0-a r2，其中h0是最大水深，r是径向坐标，a是抛物面的形状因子。实验首次观察到了容器内水重力波的多边形斑图，如图一（a）所示。这些图案棱角分明，更近乎于几何多边形，且其空间尺度远大于毛细波长，属于新型的变底面浅水重力波或潮汐波。其之形成，源于凹底容器里水波l-阶角向模式的参量失稳，进而演化成具有l-重对称性的多边形（非线性模式）。作者借助37000cm威尼斯高性能计算中心的计算服务器，对实验进行了基于Navier-Stokes方程的数值模拟，结果成功地复现了实验所观察到的现象，如图一（b）所示。
图一：稳态多边形水波振荡斑图。（a）实验照片：第一行从左到右依次为椭圆形（l=2）、三角形（l=3）、四边形（l=4）和五边形（l=5）；第二行是经半个振荡周期后与第一行对应的波动形态。所用抛物底面容器的口径为20 cm，底面最深4 cm；容器内盛有纯净水，最大水深h0=2 cm（为了增强照片的视觉效果，水中添加了少许墨汁）。（b）对应（a）中实验参数的数值模拟。
大量的实验表明，此类现象不仅存在于抛物底面容器中，也存在于诸如半球、浅碟等凹底容器中。例如，图二是一款普通家用碟子中所观察到的波动，其激发方式与抛物底面容器的基本相同，惟其驱动频率和幅度略有调整。
图二：普通碟子里所观察到的多边形水波。碟子最大净水深是1.2 cm.
针对抛物底面的容器，实验同时测量了斑图形成的驱动参数阈值和一些重要的性质。从图三（a）的驱动参数阈值图可知，多边形斑图形成的机制是参量激励下静水面的失稳—参量不稳定性。而从图三（c）的频响曲线可知，此种振荡模式具有显著的非线性硬弹簧特性：频响峰值偏向高频，且存在状态跃迁。此外，实验测得的模式线性简正频率wl与多边形阶数l满足平方根的频散关系（图三 d），与早年Lamb线性理论【1】所预测的完全一致：即wl =w1 l1/2，其中液晃（sloshing）模式的频率w1 =（2ga）1/2，完全由形状因子a 确定（g—重力加速度）。
图三：实验测量。（a）驱动频率f vs. 强度g 的阈值图，符号形状对应于所观察到的多边形，“”表示只有径向振荡的“呼吸模式”（l=0），（b）驱动停止后各模式的振幅衰减曲线（从中可间接测得阻尼系数bl），（c）三角形模式的幅频响应（纯水：蓝色与红色，硅油：黄色），（d）线性简正频率wl与模式阶数l的关系。
从图三（c）可知，阻尼对频响影响甚大；硅油因黏性比水大得多，其非线性共振频率显著降低。作者经实验分析认为，阻尼还抑制了高阶多边形模式（l>5）的激发，而液体表面张力所致的接触线摩擦是产生阻尼的主因。此外，在图一中，四边形的四角呈现出毫米量级的“凸出”。作者把这一怪异的现象归咎于水表面张力与容器的接触表面相互作用的结果；不同表面材质的容器（如碟子），表面张力效应有所不同。为了完全排除这些“负面”影响，作者直接对（无粘性、无表面张力的）理想流体进行了数值模拟。如图四（a）所示的数值模拟结果，无疑证实了作者的猜想。受此启发，作者专门打造了口径达50 cm的不锈钢锅（底面近乎抛物面）作为容器，以在实验中尽量降低水表面张力和阻尼效应的影响。果然，在此大锅中不仅激发出了棱角更为分明的低阶多边形，而且成功地激发出了高阶的六、七边形，如图四（b）所示。值得指出，六边形模式（l=6）由于与液晃运动的强烈耦合，在振荡几个周期之后便失稳。其因在于，该模式与混合液晃模式（角向下标l=1、径向下标m=1）的简正频率近乎简并。从此实验可推论，此类多边形波动斑图（模式）完全可存在于更大尺寸的容器之中。无论容器有多大、水有多深，只要形状因子a相同，其激发频率f是相同的。
图四：高阶多边形的观察。（a）理想流体极限下的数值模拟（l=2-7），（b）中式大锅容器内的实验观察。
实验还表明，只要驱动频率介乎两个模式（例如，l=4，5）的线性简正频率之间，且驱动强度取值合适（图三 a中阴影小区域），则两个模式因非线性耦合，而会在长时间尺度上呈现周期性的交替，交替周期是驱动周期的数十倍。此即非线性波动中十分有趣的模式竞争现象（详见原文）。
最令人称奇的是，上述法拉第实验中观察到的多边形水波，竟然与此前不久在受约束的玻色-爱因斯坦凝聚中所观察到的星型斑图【2】惊人相似：二者不仅具有一致的线性色散关系，相似的硬弹簧幅频响应，以及时间演化动力学特性，甚至连六边形耦合失稳的细节也一一对应。文章的理论分析表明，在二阶非线性近似下，支配变底面容器内理想流体浅水波非线性演化的是二维Airy方程【3】，
其中，h是变底面容器的水深，h是水面的垂直位移，u是质点速度的水平分量，Ñ是二维（水平）梯度算符。在垂直振动的参量激励下，重力加速度g用g(t)=g(1+gcos2pft) 取代。只要h、h和g作如下简单的变量变换，
则二维Airy方程数学上完全等价于二维Gross-Pitaevskii方程的流体力学形式【4】，其中g2D是玻色气体的二维相互作用强度，M是原子质量，n¢是玻色气体密度对平衡态配置n0的扰动。经无量纲化变换，两套方程可约化为统一的数学模型，由此数学上建立了经典和量子流体系统之间的非线性类比。其中，约束水波的抛物型底面类比于玻色-爱因斯坦凝聚中的简谐势阱约束。对统一模型的初步数值模拟表明，其确实具有所观察到的多边形解。
论文所揭示的多边形斑图，对流体力学的意义不言而喻。这是一类新型的变水深浅水重力波，可以存在于比毛细尺度大得多的空间尺度上，从小到厨房的碗碟，大到炼油厂的储油罐，甚至变水深的湖泊和港湾，乃至广阔的内海（或可由地震激发）。因此，认识这类水波的激发机理及波动行为，不仅可以加深对潮汐波在诸如港湾等大尺度上非线性演化规律的认识，而且有可能应用于诸如储液（油）装置的防震设计，甚至地震预报等重要场合。另一方面，经典和量子流体之间的非线性类比，在浅水重力波和玻色-爱因斯坦凝聚的集体激发之间构建起了一座桥梁，使得在两个迥异的物理学领域之间概念、知识、理论和实验的相互借鉴成为可能。北京时间2023年12月7日，相关研究成果以“Polygonal patterns of Faraday water waves analogous to collective excitations in Bose–Einstein condensates”为题在线发表在Nature Physics上。另，Nature以“Weird waves in water emulate those in quantum matter”为题，作了research highlight报道。王新龙教授为该文的通讯作者，其指导的博士生刘昕昀同学为第一作者。该工作得到了国家自然科学基金项目的支持。
【1】 H. Lamb, Hydrodynamics, 6th ed, p291-293 (Cambridge University Press, 1975).
【2】 K. Kwon, et al., Spontaneous Formation of Star-Shaped Surface Patterns in a Driven Bose-Einstein Condensate. Phys. Rev. Lett. 127, 113001 (2021).
【3】 J. J. Stoker, Water waves: The mathematical theory with applications (Vol. 36). (John Wiley & Sons, 1992).
【4】 S. Stringari, Collective excitations of a trapped Bose-condensed gas. Phys. Rev. Lett. 77, 2360-2363 (1996).
论文链接：https://www.nature.com/articles/s41567-023-02294-y
Nature's research highlight: https://www.nature.com/articles/d41586-023-03809-6
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